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Haskellの関数の定義を読む方法

Haskellは基本的にはタイプ、型、をghci上で:tまたは:typeで調べて、それで理解していくのがいちばん速い勉強方法だと思います。型でわからない場合、ソースを読んでもわからないことが多い気がする。 まあ、ともかく、とりあえず例えばrandomという関数のソ…

ネアンデルタール人は人類とは交配していない

ネアンデルタール人は私たちと交配したスヴァンテ・ペーボ著 という本を読みました。 当たり前のことですが、現生人類はネアンデルタール人との交配の子孫ではありません。それなのになぜスヴァンテ・ペーボほどの科学者がそう思い込んでいるのか。という興…

分数の割り算

なぜ分数の割り算はひっくり返すのか?―数学ギライも図に描けばすぐ理解できる 板橋悟 という本を読みました。なぜ分数の割り算はひっくり返すのか?―数学ギライも図に描けばすぐ理解できる作者: 板橋悟出版社/メーカー: 主婦の友社発売日: 2011/08/24メディ…

絶対値と不等式

のとき のとき のとき <img src="http://www.forkosh.com/mathtex.cgi? a \geqq 0" align=absmiddle> のとき <img src="http://www.forkosh.com/mathtex.cgi? |a|=a,\quad a \leq 0" align=absmiddle> のとき <img src="http://www.forkosh.com/mathtex.cgi? |a|=-a" align=absmiddle>

モンティ・ホール問題

数学の確率にモンティ・ホール問題というのがあって、A,B,C3つのドアを選んだあとに他の部屋のハズレのドアが開けられたあと、選択を変えた方が当たる確率が断然上がる、というのがあります。1/3 => 2/3というように倍になります。 これを、投資にたとえて…

数式を縦に並べる

「小学生でもわかる計算だけで 0.9999…… が 1 な事を説明」 http://yoshiori.github.io/blog/2013/10/11/0-dot-999999-equals-1/ というページで、恒等式を変形していって命題を証明する方法がとられています。MathJaxで書いたとのことですが、私もLaTeXで実…

数直線

数直線を描いてみたいと思いました。 ネットに次のような例がありました。

可換図

英語のウィキペディアのCommutative Diagramの項に、次のような図があります。 <img src="http://www.forkosh.com/mathtex.cgi? \usepackage[all]{xy} \xymatrix@R+2em@C+2em{ A \ar[r]^-f \ar[d]_-g & B \ar[d]^-h \\ C \ar[r]_-k & D } ">そのページには親切にソースコードが載っているので、いまここに描けています。ただ、もとのソースコードは下記のようなもので、それを上のように書き換えています。具体的には …

mathTeXで図形やグラフを描けますか

http://www.forkosh.com/mathtex.html にある例ですが、描けるみたいです。 苦労してLaTeXで描く意味があるかどうかは目的と環境によりますが、誰かが描いてくれたものが再利用できるのはいいと思いました。 テキストである、ということの利点かもしれません…

pictureの実験(分度器)

LaTeXのlineコマンドで分度器を描こうと思いました。 まだ実験中です。

displaystyleの実験

陰関数の導関数は次のように求められる。 <img src="http://latex.codecogs.com/png.latex? \frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}} {\frac{\partial f}{\partial y}},\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}} {\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}} "\>\displaystyleを使わないと、分子分母の中に分…

定積分記号

=> mathTeXで書き換えました。 <img src="http://www.forkosh.com/mathtex.cgi? \int_a^b f(x) \,dx ">ついでにちょっと実験です。 \frac{dy}{dx}=3x^2+\cos x\,.\\ y''=f''(x)\,.\\ \int_a^b f(x) \,dx \, .\\ ">\indentは使えないみたいです。 文章中に入れるのはできますか。 関数 の導関数は と定義される。 これはオッケーで…

ラプラシアン

今日は、codecogsでラプラシアンを書いてみます。=> mathTeXで書き換えました。 <img src="http://www.forkosh.com/mathtex.cgi? \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} ">書けましたね。

テイラー級数の公式

いままではてなのmimeTeXを使って、不便を忍びながら書いていた数式を、実験をかねて順次codecogsのLaTeXサービスを使って、書きなおしてみます。=> mathTeXに書き換え中です。 まずは、テイラー展開というかテイラー級数の公式を書いてみます。 <img src="http://www.forkosh.com/mathtex.cgi? f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a) "/>よしよし。 …

アレフ

codecogsのLaTeXエディタでアレフが書けるかどうかの実験です。 文章は面白くて眠れなくなる数学、桜井進、より。 自然数の無限の濃度を (アレフ・ゼロ)、実数の無限の濃度を (アレフ)と呼びます。 \Hugeにしてみました。 自然数の無限の濃度を<img src="http://latex.codecogs.com/png.latex? \Huge \aleph \large 0"\>(アレフ・ゼロ…

連分数の書き方

\displaystyleを多用しなければなりません。 デフォルトをこちらにすればいいのにね。 <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex? x = a_0 + \displaystyle \frac{1}{a_1 + \displaystyle \frac{1}{a_2 + \displaystyle \frac{ 1}{a_3 + a_4}}} " /> 追記: mathTeXで書き換え。displaystyleではなく、cfracを使います。この方がLaTeXとしてもただしみたいです。

行列

行列もcodecogsで書けました。=> mathTeXで書き直し中です。 matrix , pmatrix, または arrayを使います。

場合分け(cases)

<img src="http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?f(x)=\left | x^2-4 \right |" /> は絶対値を使わないで、次のように表せる。2 \text{\; or \;} x

因数分解

<img src="http://www.forkosh.com/mathtex.cgi? a^2 + b^2 + c^2 \\ = (a + b - c) (a + b + c) ">

ラグランジュの剰余項

すいません。またTexの実験です。 [tex: R_n=\frac{f^{(n)} (\theta x)}{n!} x^n]cf. テーラー展開、マクローリン展開。

オイラーの式

オイラーの式を書く実験です。 まず、TeXで書くとこんな感じかな。 [tex: e^{i*\theta}=cos{\theta}+i*sin{\theta}]テキストで書くとこんな感じでしょうか。 e^{i*θ}=cos{θ}+i*sin{θ} TeXの中でUnicodeは使えないのだろうか。たぶん使う方法があるはずと思う…

極限

ちょっとTeXの実験です。 [tex:\Large \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1] [tex:\Large e^x=\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac~xn\right)^n] [tex:\Large \lim_{h\to 0} \frac~{e^h - 1}h = 1]

三角形の5心

三角形は内心、外心、垂心、重心、傍心をもつ。これらをあわせて五心という これを英語でなんと言うか。 内心 => The intersection of the angle bisectors is the center of the incircle. 外心 => The circumcenter is the center of a circle passing thr…

中線定理(パップスPuppusの定理)

三角形ABCの辺BCの中点をMとすると [tex: AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)]が成り立つ。

テイラー級数の公式

テイラー展開というかテイラー級数の公式をTeXとテキストで書く実験です。 まず、TeXだとこんな感じ。 [tex: f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n]結構ですね。 これを次のように書いて直感的に理解できるか。 f(x)= Σ_{n=0}^{∞} { {f^(…

ラプラシアン

[tex: \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} ]これを、Texを使わずに書いてみようと思いました。Δ = { ∂^2 } / { ∂x^2 } + { ∂^2 } / { ∂y^2 } + { ∂^2 } / { ∂z^2 } デルタの大…

Mathematics

数学、マセマティクスの語源は、ギリシャ語でマセーマ μáθημα だとのことですが、ギリシャ語をUbuntuのMozcで入力できるか実験してみました。 ミュー、シータ、エータ、アルファ という読みで、μ、θ、η、α、は変換できましたが、小文字の上に点が振ってある…

素数センス

辞書を引いていて、1139ページの1139という数字が素数かどうか気になりました。 手もとにパソコンがなかったので、紙で計算しようと思って、次の手順で確認しました。 40x40=1200 , 30x30=900 , 35x35=1225なので、35以下の素数で割ってみる。 これは1139が…

対数の数の大小の比較

次の数の大小を比較せよ。 log_{0.5}(3) , log_{0.5}(2) , log_{3}(2) , log_{5}(2) 対数は J言語では ^.(キャレットドット)という二項動詞を使います。 左側に底、右側に変数を置きますので、上記の対数を計算してみると、次のようになります。 (0.5 ^. 3…

声に出して読む数式

「面白くて眠れなくなる数学」という本がコンビニに置いてありました。数学の本がコンビニで売れるなんて事件じゃないですか。装丁も気がきいているし、文体も楽しくて、おすすめです。最初の章にギリシャ文字β(べーた)の書き順の話が書いてあってこれが大…

数学問題

みっちの隠れ家(http://micci.sansu.org/)という数学サイトで次のような問題がありました。 第117回 問題(2011年12月05日〜2012年01月04日) 図のように半径が9と半径3の円が交わっており2つの円の中心距離O1O2は6√3となっています。 このときこ…

単位の表記 kg と kgs

大昔貿易の仕事をしていたことがあって、その当時、キログラムは kgs と kg のあとに s をつけて書いていました。また、数字との間にスペースは入れなかったので、いまでもそのクセがあるのですが、ネットで調べたらどちらも間違いのようです。 アメリカ式し…

ニュートン算

「ある牧場では、150頭の牛を放し飼いにすると、10日で草がなくなり、200頭だと6日で草がなくなる。100頭の牛なら何日で草がなくなるか。ただし、牛はみな1日に食べる草の量は同じで、草は毎日、一定の割合で伸びるとする」 こういうタイプの問題をニュート…

算学武芸帳

金重明著「算学武芸帳」朝日文庫 という時代小説を読みました。とてもおもしろかった。 和算の話です。 和算についてなにも知らなかったので、あとがきに参考にしたとある、 「日本の幾何----何題解けますか?」 深川英俊、ダン・ペドー著 森北出版 とかも読…

マニュアルと数学の証明の違い

似ていると思います。 新しい言語やソフトのマニュアルを読むとはじめわからなくて、そのうちなんとなく像ができてくる。数学の証明も読んでわからなくても自分で計算したり、図を書いたりするうちにストンと落ちてくる。ピアノの譜読みも似ていて、はじめは…

優先度

やることのない休みの日、朝いちに一輪車の練習をして、それからコーヒーを飲みながら数学本を読んだり、問題を考えたりする。それでつかれたらピアノの練習。 あたまも含めて身体は元気なうちにやったことが一番身につきますので、たぶん今のわたしにとって…

高校数学から

とある数学本を読んでいたら、その先生は高校時代までは数学は不得意できらいだったのが、海外留学中に数学を選択して数学専門の先生になったようなことが書いてありました。そんなこともあるだろうな。なぜなら、数学って分野がたいへん広くて、ある分野が…

量化子に関するド・モルガンの法則

新井紀子 数学は言葉 を読んでたら、 量化子に関するド・モルガンの法則 というのが出てきました。 ∀x¬P(x) ¬∃xP(x) ∃x¬P(x) ¬∀xP(x) 同値だそうです。理由は、すべて、は、かつ、の連なりで、存在は、または、の連なりだから。 なるほど。 以前書いたド・モ…

一階述語論理

流派によって使う記号に違いがあるようですが、アンド、オア、ならば、同値、オール、存在、ノット、などと呼ばれる7つの論理記号をつかって、命題を表し、証明してく方法を数理論理学と呼ぶようです。 ∧、∨、⇒、⇔、∀ 、∃、 ¬ 高校数学でも、1年生の数学Aで…

全体否定と部分否定

全体否定は、∀x¬P(x) これに対して、部分否定は二つ書き方があって、 ∃x¬P(x) ¬∀xP(x) とのこと。 日本語ではなんと読むのだろう。 ∀x¬P(x) は、すべての x について、P(x)ではない。これでは分かりにくいので、任意のどんな x についてもP(x)ではない。とい…

ド・モアブルの定理

複素数で、ド・モアブルの定理というのがあります。 ( cos θ + i sin θ ) ^ n = cos n θ + i sin n θ 普通、上記のように書きますが、パソコン上では、見にくいので、とりあえず次のように書きましょう。 ( cos ( θ ) + i * sin ( θ ) ) ^ n = cos ( n * θ )…

複素数

カシオのClassPadのマニュアルを読んでいたら、複素数関数に arg というコマンドがありました。これについての考察です。 arg ( 2 + i ) => tan^{ -1 } ( 1/2 ) 説明に argument of complex number とある。英語と日本語のウィキペディアを行き来して調べた…

グラフィック電卓

アメリカから買った CASIO のタッチペン式グラフ電卓の ClassPad330 に夢中になっています。日本で手に入らないかと思って日本のカシオに問い合わせたところ、海外専用機種で日本国内での販売は行っていない、とのこと。CASIO の英語のサイトに行くと世界中…

分数表示

数式処理システム ( CAS ) には、普通、変数を含む数式を展開 expand したり、因数分解 factor したりする機能があります。 expand ( ( x + 2 )^2 ) => x^2 + 4*x + 4 というような感じ。factor はこの逆なので、factor ( x^2 + 4*x + 4 ) => ( x + 2 )^2 と…

行列の表示

次のような 2 x 4 の行列があるとします。 1 2 5 6 3 4 7 8 紙のテキストや LaTeX、数式処理システム (CAS) だと行列は大きなカッコで括られて分かり易く表示されます。パソコンで CAS でない場合、いくつかの方法があります。 一番簡単なのは上記のように数…

固有値問題

固有値って何だか分かりませんが、A という正方行列があったとして、次のように定義されています。 A * x⃗ = λ * x⃗ ここで λ (ラムダ) が固有値、x⃗ が固有ベクトル。 カシオのグラフ電卓の ClassPad の関数に、固有値を求める eigVl という関数と、固有ベ…

図形描画ソフト

グラフ電卓の ClassPad を触っていて、ついて来たアプリの Geometry という数学に特化した図形描画ソフトが気に入りました。これだとこの電卓だけのソフトですので、パソコンで似たようなものがないか調べてみました。 数学 図形 ソフト とかで検索したとこ…

ピタゴラスの定理の証明(等積変形)

ピタゴラスの定理 証明、で検索すると出てくるサイトに証明方法が100以上あると書かれています。その最初の例がユークリッドも用いたという等積変形によるものです、ということで図もあるのですが、これが分かりません。考え中。 追記:ClassPadで図を描いて…

∀n ( ∃m ( n < m ) ) と ∃m ( ∀n ( n ≦ m ) )

∀n ( ∃m ( n と ∃m ( ∀n ( n ≦ m ) ) の違いが分かりません。 はじめのは、全ての n について、n より大きな m が存在する。 次のは、最大値 m が存在する。 と書いてあるのですが、ほとんど同じに見えます。

素数は無限にあるか

素数が無限にあることの証明は普通次のようにやります。 有限ならば、p1, p2, …, pn と書ける。それらを掛け合わせた結果に 1 を足した数字を考える。 p1 * p2 * … * pn + 1 するとこれは、最大の素数より大きく、かつ素数 p1, p2, …, pn のどれによっても割…