数学

数学問題

みっちの隠れ家(http://micci.sansu.org/)という数学サイトで次のような問題がありました。 第117回 問題(2011年12月05日〜2012年01月04日) 図のように半径が9と半径3の円が交わっており2つの円の中心距離O1O2は6√3となっています。 このときこ…

単位の表記 kg と kgs

大昔貿易の仕事をしていたことがあって、その当時、キログラムは kgs と kg のあとに s をつけて書いていました。また、数字との間にスペースは入れなかったので、いまでもそのクセがあるのですが、ネットで調べたらどちらも間違いのようです。 アメリカ式し…

ニュートン算

「ある牧場では、150頭の牛を放し飼いにすると、10日で草がなくなり、200頭だと6日で草がなくなる。100頭の牛なら何日で草がなくなるか。ただし、牛はみな1日に食べる草の量は同じで、草は毎日、一定の割合で伸びるとする」 こういうタイプの問題をニュート…

算学武芸帳

金重明著「算学武芸帳」朝日文庫 という時代小説を読みました。とてもおもしろかった。 和算の話です。 和算についてなにも知らなかったので、あとがきに参考にしたとある、 「日本の幾何----何題解けますか?」 深川英俊、ダン・ペドー著 森北出版 とかも読…

マニュアルと数学の証明の違い

似ていると思います。 新しい言語やソフトのマニュアルを読むとはじめわからなくて、そのうちなんとなく像ができてくる。数学の証明も読んでわからなくても自分で計算したり、図を書いたりするうちにストンと落ちてくる。ピアノの譜読みも似ていて、はじめは…

優先度

やることのない休みの日、朝いちに一輪車の練習をして、それからコーヒーを飲みながら数学本を読んだり、問題を考えたりする。それでつかれたらピアノの練習。 あたまも含めて身体は元気なうちにやったことが一番身につきますので、たぶん今のわたしにとって…

高校数学から

とある数学本を読んでいたら、その先生は高校時代までは数学は不得意できらいだったのが、海外留学中に数学を選択して数学専門の先生になったようなことが書いてありました。そんなこともあるだろうな。なぜなら、数学って分野がたいへん広くて、ある分野が…

量化子に関するド・モルガンの法則

新井紀子 数学は言葉 を読んでたら、 量化子に関するド・モルガンの法則 というのが出てきました。 ∀x¬P(x) ¬∃xP(x) ∃x¬P(x) ¬∀xP(x) 同値だそうです。理由は、すべて、は、かつ、の連なりで、存在は、または、の連なりだから。 なるほど。 以前書いたド・モ…

一階述語論理

流派によって使う記号に違いがあるようですが、アンド、オア、ならば、同値、オール、存在、ノット、などと呼ばれる7つの論理記号をつかって、命題を表し、証明してく方法を数理論理学と呼ぶようです。 ∧、∨、⇒、⇔、∀ 、∃、 ¬ 高校数学でも、1年生の数学Aで…

全体否定と部分否定

全体否定は、∀x¬P(x) これに対して、部分否定は二つ書き方があって、 ∃x¬P(x) ¬∀xP(x) とのこと。 日本語ではなんと読むのだろう。 ∀x¬P(x) は、すべての x について、P(x)ではない。これでは分かりにくいので、任意のどんな x についてもP(x)ではない。とい…

ド・モアブルの定理

複素数で、ド・モアブルの定理というのがあります。 ( cos θ + i sin θ ) ^ n = cos n θ + i sin n θ 普通、上記のように書きますが、パソコン上では、見にくいので、とりあえず次のように書きましょう。 ( cos ( θ ) + i * sin ( θ ) ) ^ n = cos ( n * θ )…

複素数

カシオのClassPadのマニュアルを読んでいたら、複素数関数に arg というコマンドがありました。これについての考察です。 arg ( 2 + i ) => tan^{ -1 } ( 1/2 ) 説明に argument of complex number とある。英語と日本語のウィキペディアを行き来して調べた…

グラフィック電卓

アメリカから買った CASIO のタッチペン式グラフ電卓の ClassPad330 に夢中になっています。日本で手に入らないかと思って日本のカシオに問い合わせたところ、海外専用機種で日本国内での販売は行っていない、とのこと。CASIO の英語のサイトに行くと世界中…

分数表示

数式処理システム ( CAS ) には、普通、変数を含む数式を展開 expand したり、因数分解 factor したりする機能があります。 expand ( ( x + 2 )^2 ) => x^2 + 4*x + 4 というような感じ。factor はこの逆なので、factor ( x^2 + 4*x + 4 ) => ( x + 2 )^2 と…

行列の表示

次のような 2 x 4 の行列があるとします。 1 2 5 6 3 4 7 8 紙のテキストや LaTeX、数式処理システム (CAS) だと行列は大きなカッコで括られて分かり易く表示されます。パソコンで CAS でない場合、いくつかの方法があります。 一番簡単なのは上記のように数…

固有値問題

固有値って何だか分かりませんが、A という正方行列があったとして、次のように定義されています。 A * x⃗ = λ * x⃗ ここで λ (ラムダ) が固有値、x⃗ が固有ベクトル。 カシオのグラフ電卓の ClassPad の関数に、固有値を求める eigVl という関数と、固有ベ…

図形描画ソフト

グラフ電卓の ClassPad を触っていて、ついて来たアプリの Geometry という数学に特化した図形描画ソフトが気に入りました。これだとこの電卓だけのソフトですので、パソコンで似たようなものがないか調べてみました。 数学 図形 ソフト とかで検索したとこ…

ピタゴラスの定理の証明(等積変形)

ピタゴラスの定理 証明、で検索すると出てくるサイトに証明方法が100以上あると書かれています。その最初の例がユークリッドも用いたという等積変形によるものです、ということで図もあるのですが、これが分かりません。考え中。 追記:ClassPadで図を描いて…

∀n ( ∃m ( n < m ) ) と ∃m ( ∀n ( n ≦ m ) )

∀n ( ∃m ( n と ∃m ( ∀n ( n ≦ m ) ) の違いが分かりません。 はじめのは、全ての n について、n より大きな m が存在する。 次のは、最大値 m が存在する。 と書いてあるのですが、ほとんど同じに見えます。

素数は無限にあるか

素数が無限にあることの証明は普通次のようにやります。 有限ならば、p1, p2, …, pn と書ける。それらを掛け合わせた結果に 1 を足した数字を考える。 p1 * p2 * … * pn + 1 するとこれは、最大の素数より大きく、かつ素数 p1, p2, …, pn のどれによっても割…

ソファー問題

NHK「クローズアップ現代」で数学ブームを取り上げてました。その中で竹内薫が、直角に曲がった廊下を通過させることのできるソファの最大面積はなにか、というテーマで発想の転換の話をして、答えは 2.2 m2 とのことなのですが、よく分からない。 英語のウ…

オイラーの定理による加法定理の証明

こういうのって循環論法かどうかというよりサギにあっているような気がするけど、なぜかな。 まとりあえず、なぞってみましょう。 e^{ i * x } = cos x + i * sin x これがオイラーの公式です。 一方で、べき乗の性質によって、 e^{ i * ( a + b ) } = e^{ i…

グラフ電卓 ClassPad

カシオファンです。腕時計もCasioだし、大昔に始めて買ったデジカメもカシオ。キーボードもカシオ。 カシオのマーケティングというか製品はターゲットが明確なのがいいと思う。要るか要らないかがよく分かる。ターゲットとしているポイントに自分がフィット…

加法定理の証明(面積和法)

「加法定理の証明」で調べてたら、三角形の面積の和による証明を何人かの方が書かれていておもしろかったのでなぞってみます。 三角形ABCを描きます。角A, B, Cのそれぞれの対辺をa, b, cとします。AからBCに垂線を引いて交点をHとします。∠BAHと∠CAHをそれ…

加法定理

「加法定理の証明」で検索したところ、1999年の東京大学の入試に出題されたという記事がありました。うむ。ちょっとびっくりです。どういう意図なのかなぁ。ついでにびっくりしたのが、模範回答みたいのが、ベクトルの内積 u⃗ ∙ v⃗ = |u⃗| * |v⃗| * cos θ を…

ゼータ関数

ζ(s) = 1 + 1 / 2^s + 1 / 3^s + 1 / 4^s ⋯ = Σ_( n = 1 ) ^ ∞ { 1 / n^s } 今日はこれだけ。

余弦定理の証明

余弦定理とは、三角形ABCで2辺の長さ b、c とその間の角Aがわかっているとき、残りの辺の長さ a が求められることを示すものです。 適当な図を描いて、AB上に点Dを取り、角CDBを直角とする。 CD = b * sin A DB = a * cos B = c - b * cos A よって、三角形C…

ベクトル記号(アルファベットの上の矢印)

ユニコードの話です。補集合の意味の、アルファベットの上の横棒とか、添字の件について何回か書きました。 http://d.hatena.ne.jp/niming538/20110610 http://d.hatena.ne.jp/niming538/20110703 ところが、上記の表では、a⃗ のようなベクトルの矢印がカバ…

定積分記号

Latex とか、mimeTeX で、tex: \int_a^b f(x) dx、と書くと、次のように表示されます。 これは画像なので、検索性が悪いとか、いくら柔軟性の高い LaTeX でも、添え字など、字を小さくして対応するのに無理がありますので、Unicode 全盛の時代ですのでなんと…

上付き下付き

ユニコードの話です。補集合の意味の、アルファベットの上の横棒は、ユニコードのU+305 を使うと、直前の文字に横棒を合成してできる話を以前書きました。ユニコードのエリアとしてはU+0300 〜 U+36F あたりの combining diacritical marks ( 合成可能 ) に…