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数学

ソファー問題

NHK「クローズアップ現代」で数学ブームを取り上げてました。その中で竹内薫が、直角に曲がった廊下を通過させることのできるソファの最大面積はなにか、というテーマで発想の転換の話をして、答えは 2.2 m2 とのことなのですが、よく分からない。 英語のウ…

オイラーの定理による加法定理の証明

こういうのって循環論法かどうかというよりサギにあっているような気がするけど、なぜかな。 まとりあえず、なぞってみましょう。 e^{ i * x } = cos x + i * sin x これがオイラーの公式です。 一方で、べき乗の性質によって、 e^{ i * ( a + b ) } = e^{ i…

グラフ電卓 ClassPad

カシオファンです。腕時計もCasioだし、大昔に始めて買ったデジカメもカシオ。キーボードもカシオ。 カシオのマーケティングというか製品はターゲットが明確なのがいいと思う。要るか要らないかがよく分かる。ターゲットとしているポイントに自分がフィット…

加法定理の証明(面積和法)

「加法定理の証明」で調べてたら、三角形の面積の和による証明を何人かの方が書かれていておもしろかったのでなぞってみます。 三角形ABCを描きます。角A, B, Cのそれぞれの対辺をa, b, cとします。AからBCに垂線を引いて交点をHとします。∠BAHと∠CAHをそれ…

加法定理

「加法定理の証明」で検索したところ、1999年の東京大学の入試に出題されたという記事がありました。うむ。ちょっとびっくりです。どういう意図なのかなぁ。ついでにびっくりしたのが、模範回答みたいのが、ベクトルの内積 u⃗ ∙ v⃗ = |u⃗| * |v⃗| * cos θ を…

ゼータ関数

ζ(s) = 1 + 1 / 2^s + 1 / 3^s + 1 / 4^s ⋯ = Σ_( n = 1 ) ^ ∞ { 1 / n^s } 今日はこれだけ。

余弦定理の証明

余弦定理とは、三角形ABCで2辺の長さ b、c とその間の角Aがわかっているとき、残りの辺の長さ a が求められることを示すものです。 適当な図を描いて、AB上に点Dを取り、角CDBを直角とする。 CD = b * sin A DB = a * cos B = c - b * cos A よって、三角形C…

ベクトル記号(アルファベットの上の矢印)

ユニコードの話です。補集合の意味の、アルファベットの上の横棒とか、添字の件について何回か書きました。 http://d.hatena.ne.jp/niming538/20110610 http://d.hatena.ne.jp/niming538/20110703 ところが、上記の表では、a⃗ のようなベクトルの矢印がカバ…

定積分記号

Latex とか、mimeTeX で、tex: \int_a^b f(x) dx、と書くと、次のように表示されます。 これは画像なので、検索性が悪いとか、いくら柔軟性の高い LaTeX でも、添え字など、字を小さくして対応するのに無理がありますので、Unicode 全盛の時代ですのでなんと…

上付き下付き

ユニコードの話です。補集合の意味の、アルファベットの上の横棒は、ユニコードのU+305 を使うと、直前の文字に横棒を合成してできる話を以前書きました。ユニコードのエリアとしてはU+0300 〜 U+36F あたりの combining diacritical marks ( 合成可能 ) に…

指数

Q. ln 10 = 2.3 、log 2 = 0.3 のとき、ln 2 を求めよ。log 2 = 0.3 より、2 = 10 ^ 0.32 = ln (10 ^ 0.3 ) = 0.3 * ln 10 = 0.3 * 2.3 = 0.69一般に ln x = ln 10 * log x ^ 0.69 1.99372

調和平均

英語の数学の記事を読んでいたら、harmonic mean ということばが出てきました。算術平均と幾何平均は聞いたことあるけど調和平均とは何か。その時の数式は次のようなものです。 m = { 2 * a * b } / { 1 / a + 1 / b } そして説明の中に「調和平均は算術平均…

Pascalと数学の本

レンタルサーバーにプログラム言語パスカルを入れるのに苦労しました。 http://d.hatena.ne.jp/niming538/20110629 ところでなぜいまどき Pascal なのかというと、図書館に「パソコンで数学、整数と乱数の不思議 Arthur Engel 著」という本があって、これで…

集合の要素の個数

問 2つの集合A、Bで n(A) + n(B) = 10 かつ、n(A ∪ B) = 7 とするとき、n(A̅ ∩ B) + n(A ∩ B̅) を求めよ。 集合はAPL/J言語で扱えるだろうか。扱えるのですが、何か要素を入れないと計算できないかもしれない。とりあえずやってみよう。 a =: 1 2 3 4 5 b =:…

集合

ある与えられた条件に適するもの全部の集まりを集合という。集合をつくる個々のものを要素または元という。a が集合 A の要素であることを a ∈ A とかく。 集合を表わすには A = { a, b, c, …… } とか、A = { x | x の条件 } を用いる。 A のどの要素も B の…

高校教科としての数学

趣味としての数学をやっている身で、高校数学はいろいろ制限があるのだろうなぁ、と勝手に思って敬遠していました。いわゆる学習指導要領というやつで、○○については、□□程度で、△△を教えてはいけません、とかいう中で出来ている世界と思っていました。 とい…

行列の計算

数式処理システムの REDUCE でアウトプットを LaTeX にしないでテキストファイルにするとちょっと変ですがそれなりに納得の行く結果を出します。 行列、マトリックス、は mat という演算子で作ります。 m:= mat( ( a , b ) , ( c , d ) ); [a b] m := [ ] [c…

演算子

ウィキペディアで何かを調べると、左のサイドバーの「その他の言語」のところにいろんな言語のウィキペディアで対応する項目が有った場合、その言語が示されます。翻訳の元の英語での意味を確認したり、日本語と中国語で同じか確認したりできてとても便利で…

ド・モルガンの法則

のようなのは、LaTeX や mathTeXでは、 <img src="http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}"> のように書きますが、ユニコードではどうやって書くのだろうか。 A̅∩̅B̅ = A̅∪B̅ あまり美しくないけどできてますね。ブラウザやフォントによって見え方が違うかもしれない。 ユニコードでは、U+300 - U+036F にcombi…

標準偏差の数式の違い

iPad 上の i41CX+ を使うためにHP電卓のマニュアルを読んでいます。標準偏差を計算する [SDEV] という命令の説明に次のような式がありました。 σ = √ ( ( n * Σ ( x^2 ) - ( Σ x )^2 ) / ( n * ( n - 1 ) ) ) 日本でふつうに習う標準偏差の式は次のようなも…

MaximaとREDUCE

REDUCEと同様にLISP上で構築された数式処理システム(数式を数式として扱うアプリケーション、プログラム)にMaximaというのがあります。パブリックドメインで活動も盛んなようです。本も出ているし、ネットにマニュアルや翻訳があってREDUCEからみるとうらや…

合成関数の記号の丸

f という関数と、g という関数を合成して、g ∘ f という関数を定義する、という言い方をするときの、まんなかの記号の小さい丸は、ユニコードの U-2218 で、読むときは普通「まる」と読んでいると思います。 英語のウィキペディアの composite function のと…

一次変換

座標平面上の各点 P ( x , y ) に対応して、同じ平面上の点 Q ( x' , y' ) がちょうど1つ定まるとき、この対応を座標平面上の変換といい、Q をこの変換による点 P の像という。また、この変換を記号 f などを用いて、次のように書き表す。 f : ( x , y ) ↦ (…

多項式の除法

チャート式基礎からの数学Ⅱは、多項式の除法から始まっていて、最初の例は次のようなものです。 A = 2 * x^3 - 3 * x^2 + 4 B = x^2 - 3 * x + 2 A を B で割った商 Q = 2 * x + 3 、余り R = 5 * x - 2。 これを i41CX+ の REDUCE でやってみます。 load_pa…

数式表記

みたいのは、わざわざ mathTeX を使わず、E = mc^2 と書きたい。イタリック体にしたければできるし、なにしろ検索に引っかかるので整理がよいと思います。 問題は、分数やルートで大きくくくる場合で、これをすべてかっこで対応すると、まるで Lisp のように…

i41CX+でREDUCE

( x + y ) ^ 2 というように変数を使った式を、 x^2 + 2xy + y^2 に展開したり、それを x で微分して 2( x + y ) にするように、変数を変数のままあつかうアプリケーションを数式処理システム、CAS、Computer Algebra System と呼ぶようです。有名なものに …

アイパッドで辞書登録

iPadの日本語入力で辞書登録ができるようになっています。 これを利用して「∀」の文字を「たーんえー」で登録してみます。 設定 => 一般 => キーボード => ユーザー辞書を編集 => 「+」(プラスボタン) 単語欄に「∀」を入力 よみ欄に「たーんえー」とひらかな…

数式をユニコードで書くかTeXで書くか

当然TeXでしょう、という声が聞こえて来そうですが、ウェブに限った話、mimeTeXやLaTeX対応のブログでは数式が画像化されてしまうので検索に引っかからなくなると言う欠点があります。TeXはユニコード対応してますよ、と言う意見もあると思いますが、それは…

必要条件は只有〜才〜か?

数学で十分条件、必要条件てありますよね。AならばBで、BであってもかならずしもAでない場合、Aが十分条件、Bが必要条件。であってますよね? だったら只要A就Bが十分条件で、只有B才Aが必要条件だと思ったのですが、事はそう簡単ではないらしくいろんな意見…

iPadで数学の本を読む

いろんな本をスキャンしてPDFにしてiPadで読んでいるのですが、その中に数学の本があります。 線形代数や確率論。流行りのやさしい数学読み物などなど。 数学の本は紙とえんぴつが必要なのでパソコンで読むのにかならずしも適していない面もありますが、わか…

アレフ

「面白すぎて眠れなくなる数学」の174ページにアレフの話がありました。 自然数の無限の濃度を(アレフ・ゼロ)、実数の無限の濃度を(アレフ)と呼びます。 これで書けているかな? 上記は、mimeTeXでtex:\Huge \aleph]と記述しています。

ラマヌジャン

Wikipediaでラマヌジャンを検索すると、次のような記事があります。 ラマヌジャンの 関数 ラマヌジャンは、現在ラマヌジャンのデルタと呼ばれている次の保型形式を計算した。 彼は のべきの係数 が乗法的な関数であることを見抜き、さらにそこから を考えて…

ガール

正の整数 が与えられたとき、 の「約数の和」を求める方法を示せ。 ミルカさんの解答 正の整数 を、次のように素因数分解する。 ただし、を素数、を正の整数とする。 このとき、 の「約数の和」は次の式で求められる。 だいたい書けたかな? mathTeXによる表…

線形代数

数ベクトルとが1次独立であるとは、 となるのは、α=β=0のときに限るときである。 という日本語がわかりません。 と感じて、おもしろいなと思いました。

三角関数

正弦定理の証明 正弦定理(law of sines)とは、 三角形ABCで、頂点A、B、Cに対する辺の長さをそれぞれ、a、b、cとする。このとき次の定理が成立する。a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2 * RここでRは三角形ABCの外接円の半径である。証明 0 円周角の定理…

number base conversion (ベース変換)

任意の数をn進数で表記したり、n進数表記の数を10進数の数に変換したりしたい。 具体的には0から9とaからzの36文字を36進数と考えると、 zz 1295 ということです。 36bzz 1295 36b1000 46656 x: 36bthisisapen 2994670252589855 これを逆に変換する関数を作…

おりがみ

折り紙は数学かと言われるとわかりませんが、どこかでひし形が三つクロスした形の折り紙を見かけて、これは! と思ったのですが、インターネットでなかなか記事が見つからなかったので調査結果をメモしておきます。 Francis Ow's(フランシス・オウ)という…

固有値

食玩問題の記事を読んでいたら次のような箇所がありました。 ただし Aの固有値を調べてみると5,4,3,2,1であることが簡単にわかる。 (参考)mimeTeXによる表記: tex: \left(\begin{matrix}{GC+23}P_5(n)\\P_4(n)\\P_3(n)\\P_2(n)\\P_1(n)\end{matrix}\right) …

実数の分数表記

すべての実数は次のように表すことができる tex:\Large N=a0+\frac{1}{a1+\frac{1}{a2+\frac{1}{a3+\frac{1}{a4+\dots}}}}] と物の本に書いてあります。 これがJ言語では、 pr=:[+1:%] と定義できるようです。(Kenneth Iverson) 以下実験です。 pr=:[+1:%] p…

食玩問題

以前、「ガチャポンの確率論」というのを書いています。 http://d.hatena.ne.jp/niming538/20080403 ここでは、ガチャポンで例えば6個そろえるのに何回かかるか、という問の意味は平均何回かかるか、という場合もあるかもしれませんが、多くの場合はたとえば…

ベクトルから行列を作る

Q.ベクトルa=,.(1 2),とb=,.(3 4)を演算によって、d=2 2$1 3 2 4にできるか? えっと、ベクトルPQとRSの交点の座標、というような場合、分母に tex: (b_1 - a_1)(d_2 - c_2) - (b_2 - a_2)(d_1 - c_1)] というような式がよく出てきます。この式は規則性があ…

多項式によるサインカーブ

Kenneth Iversonを読んでいたら、次のような例題がありました。 (MATH for the LAYMAN http://www.jsoftware.com/jwiki/Books#MathfortheLayman) fc=: 1 0 _1r2 0 1r24 0 _1r720 0 1r40320 & p. fs=: 0 1 0 _1r6 0 1r120 0 _1r5040 & p. x=: 1r3*i:10 plot x…

係数(coefficient)

Q.coefficient(係数)とは何ですか? の場合の5を係数(coefficient)と呼びます。 J言語による実験。 5*4^3 320 x=:4 5*x^3 320 0 0 0 5 p. x 320 1 2 3 p. x 57 1 + (2*x) + (3*x^2) 57 Q.の他の要素の名称を教えてください。 xは変数(variable)または引数(ar…

くもん式

以前にも書いたかも知れないアイデアですが、小学生の塾でくもんしきというのがあります。 これを高等数学でもやれないか。 要するに、3 + 4= 7のような単純計算の繰り返しがあるのだったら、を解けというのの繰り返しがあってもいいのではないか。 計算はめ…

ゼロ乗はなぜ1か

APLやJ言語を作った亡きKenneth Iversonを読んでいたら、次のような表がありました。(MATH for the LAYMAN) 2 3^table i:5r1 +-+---------------------------------------+ |^| _5 _4 _3 _2 _1 0 1 2 3 4 5| +-+---------------------------------------+ |2…

ベクトルPQとRSの交点

なるほど高校数学 ベクトルの物語 というブルーバックスの比較的最初の方(53ページ)に次のような問題がありました。 問題:2点P、Qを通る直線と、別の2点R、Sを通る直線との交点を求めよ。 解答はつぎのような結果です。 がPの座標で b, c, d がそれぞれ Q, …

数え上げ(続き)

9つのものを袋に分ける分け方は何通りあるか?という問題について、「数え上げ理論」本に書いてあったアルゴリズムで、友人がJAVAで書いてくれました。答えは手で数えたものと合っています。とりあえずこのままJ言語に翻訳してみようと思う(予定)。 int p(in…

ベクトル

数学の本でベクトルというと、 ● 向きを持った量(矢印)のこと ● 1行もしくは1列に並べて書かれた順序をもった実数の組 という2種類の定義があって混乱していました。本を読むとたいていどちらかしか書いてない。ぜんぜん関係ないのかと思うとそうでもないよ…

グラフ理論入門

まず最初に言葉の定義ですが、頭の中に絵を描いてください。 正方形の上に三角が載った家の形です。正方形の対角線を結んでバッテン(×)を描いてください。 この絵で点が5個あります。ちゃんと数えてくださいね。 辺の数はまんなかのバッテンを入れて8本です…

数え上げ

「数え上げ理論」というブルーバックスの真ん中あたりを開いたら、9つのものを袋に分ける分け方は何通りあるか?という問題が載っていました。 本を真ん中から読むというのはよくやります。 推理小説の最初と最後だけ読むというのもたまにやります。 9つのも…