t:(ティーコロン、加重テイラー)


加重テイラー(weighted Taylor)は、関数に作用させてu t: kのように使い、結果は(!k)*u t. kになります。言葉を変えれば、t:(ティーコロン)によって生成される係数は引数kの階乗(factorial)によって加重された係数です。この結果、生成された係数は指数的な一群の関数に作用させた場合単純なパターンを示します。この理由から、t:(ティーコロン)はしばしば指数生成関数と呼ばれます。

   k=: i. 12
   ^ t: k       NB.ただの指数のt:(ティーコロン)は常に1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

   %@^t: k       NB.Decaying exponential
1 _1 1 _1 1 _1 1 _1 1 _1 1 _1

   sin =: 1&o.
   cos =: 2&o.
   sinh=: 5&o.
   cosh=: 6&o.
   exp=: ^
   dec=: %@^

   (exp t:,dec t:,sinh t:,cosh t:,sin t:,:cos t:) k
1  1  1  1 1  1  1  1 1  1  1  1
1 _1  1 _1 1 _1  1 _1 1 _1  1 _1
0  1  0  1 0  1  0  1 0  1  0  1
1  0  1  0 1  0  1  0 1  0  1  0
0  1  0 _1 0  1  0 _1 0  1  0 _1
1  0 _1  0 1  0 _1  0 1  0 _1  0

検証

   (!0 1 2 3)* ^ t.0 1 2 3
1 1 1 1
   ^ t.0 1 2 3
1 1 0.5 0.166667
   (!0 1 2 3)
1 1 2 6
   (!0 1 2 3) * %@^t.0 1 2 3
1 _1 1 _1
   %@^t.0 1 2 3
1 _1 0.5 _0.166667
   sinh t.0 1 2 3 4 5
0 1 0 0.166667 0 0.00833333
   cosh t.0 1 2 3 4 5
1 0 0.5 0 0.0416667 0
   sin  t.0 1 2 3 4 5
0 1 0 _0.166667 0 0.00833333
   cos  t.0 1 2 3 4 5
1 0 _0.5 0 0.0416667 0