どこかの中学校の入試問題ということで、もとの問題はわかりませんが、わたしのところに回ってきたときは次のようになっていました。
問：1から2008の整数をそれぞれ2008乗した答えをそれぞれ５で割ったあまりの合計を求めよ
パソコンで2008乗を計算しようとすると、2^2008からもう巨大な数になるので計算不能なので、工夫が必要です。
1から10くらいの数でやってみると、4の倍数乗の場合、答えを5で割った余りは、そのある数を4乗した答えを5で割ったものになります。
したがって、1...2008の2008個の数を4乗して、5で割って余りの計を算出してみます。
+/ 5 | (>:i.2008) ^ 4 1607
というわけで、答えは1607ですが、合っているかな？
検算：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15...を4乗すると
1 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561 10000 14641 20736 ...
というような数列になり、これを5で割った余りは
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0...
という数列になる。
これを見ると5個ずつつながっていて、そのうち始めの4個が1だから、
2008 = 401 * 5 + 3
から
401 * 4 = 1604
1604 + 3 = 1607
いかがでしょうか。
