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確率分布

確率変数Xのとる値が、x_1,\,x_2,\,\cdots , \,x_n,\, \cdotsのように定まっていて、各値をとる確率が、P(X=x_n )=p_k\,\,  (k=1, 2, \cdots)で与えられているとき、Xを離散型確率変数と言い、その分布P(X=x_n)=p_k\,\, (k=1, 2, \cdots )を離散型確率分布という。ここでp_k \geq 0, \sum_{k=1}^\infty p_k=1である。


同じく高知工科大学の基礎数学ワークブックの「確率分布」ので出しをmimeTeXを織り交ぜて書いてみました。確率がAPL/J言語向きかどうかはわかりませんが、離散数学に向いていることはたしかなようなので、すこしかじってみます。上記の文章はよくわかりませんが、つまり、サイコロだったらサイコロのいろんな数が出る確率を1/10とか1/3とかだとするとその合計が1となるような感じですよね。1/10とかの確率を確率変数と呼んだり、確率は必ず大なりイコールゼロだとかが書いてあったりします。

このとき任意の関数f(x)に対し、 E[f(X) ]=\sum_{k=1}^\infty f(x_k) P (X = x_k) = \sum_{k=1}^\infty f(x_k) p_kと定める。Xの平均と分散は
E[X ]=\sum_{k=1}^\infty  x_k p_k = m
V[X ]=E[ (X - m)^2 ] = \sum_{k=1}^\infty (x_k - m)^2 p_k
である。


p.2 例1 サイコロ投げやコイン投げをくり返し行うように、同じ試行をくり返して行うことを、「ベルヌーイ試行と言う。成功確率pの試行をn回行う。これを成功確率pのベルヌーイ試行という。成功した回数を Xとすると、
 P ( X = k ) = \,_n C_k \, p^k (1 - p)^{n-k} \,\,\, (k = 0,\,1,\,\cdots,\,n)
となる。この分布を二項分布 B(n,\,p)という。
平均と分散は、
E[ X ] = np, \,\, V(X)=np(1 - p)
である。


p.3 p = \frac{1}{6}の場合二項分布
 P ( X = k ) = \,_n C_k \, (\frac{1}{6})^k\,(\frac{5}{6})^{n-k}
の値を棒グラフにしたものが、図1(n=10)と図2(n=45)である。nが大きくなると平均np、分散np(1 - p)正規分布に近づく。


これをAPL/J言語でやってみようと思います。