確率分布 - niming538の日記

p.3 例3 <パスカル分布 = 負の二項分布>
成功確率 $p(0 < P < 1)$ のベルヌーイ試行で、
$r$ 回成功するまでの失敗回数を $X$ とすると
$P(X=k)=\,{}_{r+k-1} C_k p^r (1-p)^k \,\,\, (k=0,\,1,\,2,\,\cdots)$
となる。この分布をパスカル分布または負の二項分布 $NB(r,\,p)$ という。
負の二項分布(negative binomial distribution)と呼ばれるのは、
$f(x)=(1 - x)^{-r}$
のマクローリン展開
$(1 - x)^{-r}= 1 + \frac{r}{1!}x + \frac{(r + 1)r}{2!}x^2 + \frac{(r + 2)(r + 1)r}{3!}x^3 + \cdots$
$= \sum_{k=0}^\infty {}_{r+k-1} C_k x^k$
が負の二項展開と呼ばれるからである。この平均と分散は
$E[ X ]=\sum_{k=0}^\infty\,\,{}_{r+k-1} C_k p^r (1 - p)^k = \frac{r(1-p)}{p}$ ：平均
$V[ X ]=\sum_{k=0}^\infty (k - \frac{r(1-p)}{p})^2 \,\,{}_{r+k-1} C_k p^r (1 - p)^k = \frac{r(1-p)}{p^2}$ ：分散
となる。
$p=\frac{1}{6},\,\,\,r=5$
の場合のパスカル分布
$P= P(x = k) = \,{}_{k+4}C_k (\frac{1}{6})^5 (\frac{5}{6})^k$
の棒グラフを示せ。

   f=: ( (1%6^5)*(5%6)&^)*(]!(+&4))
   'stick' plot f i.60