三角関数

正弦定理の証明
正弦定理(law of sines)とは、
三角形ABCで、頂点A、B、Cに対する辺の長さをそれぞれ、a、b、cとする。このとき次の定理が成立する。

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2 * R

ここでRは三角形ABCの外接円の半径である。

証明
0 < ∠A < π / 2 のとき、線分 BD が外接円の直径となるような点 D を外接円上にとる。
円周角の定理より、

∠ A = ∠ D

BD は外接円の直径であることから、

BD = 2 *R
BCD = π / 2

よって、正弦の定義より、

2 * R * sin D = a

sin D = sin A なので、

a / sin A = 2 * R

同様に、他の角についても成り立つ。

∠ A = π/2 のとき、BC = a = 2 * R であり、

sin A = sin ( π / 2 ) = 1

であるから、

a / sin A = 2 * R が成り立つ。

π / 2 < ∠ A < π のとき、線分 BD が外接円の直径となるような点 D を外接円上にとる。
円に内接する四角形の性質から、

∠ CDB = π - ∠ A

∠ CDB = D とすると、

sin A = sin D

となる。 BD は外接円の直径だから、BD = 2R。 正弦の定義より、

2 * R * sin D = a

よって、

a / sin A = 2 * R

同様にして他の角についても成り立つ。

以上より正弦定理は成り立つ。