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標準偏差の数式の違い

iPad 数学

iPad 上の i41CX+ を使うためにHP電卓のマニュアルを読んでいます。標準偏差を計算する [SDEV] という命令の説明に次のような式がありました。


σ = √ ( ( n * Σ ( x^2 ) - ( Σ x )^2 ) / ( n * ( n - 1 ) ) )


日本でふつうに習う標準偏差の式は次のようなものです。


σ = √ ( ( Σ ( x - x̄ )^2 ) / n )


エックス x の上に横棒、bar を引いた x̄ の記号は x の単純平均という意味でユニコードでは x の後に、U+304 を書くと表示の時に一文字になって表示されます。日本式では一つずつ平均を引いて二乗して足し込むのに対し、アメリカ式ではそれぞれの二乗の総合計を n 倍したものから、単純合計の二乗を引いています。これはきっとそうなのでしょうが、証明がめんどくさそう。
あと、全体を n で割るか ( n - 1 ) で割るかの違いも大きい。


標本を、( 1 2 3 4 5 ) という 5 つの数字とすると、i41CX+ で [SDEV] で計算すると σ は 1.5811 になります。
日本式で計算すると、平均が 3 ですので、差が ( -2 -1 0 1 2 )、それぞれの二乗は、( 4 1 0 1 4 ) になり、合計は 10、これを 5 で割ると 2、これのルートを取ると、1.414 というような数字になります。


参考:偏差値
http://d.hatena.ne.jp/niming538/20080525