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調和平均

数学 APL/J言語

英語の数学の記事を読んでいたら、harmonic mean ということばが出てきました。算術平均と幾何平均は聞いたことあるけど調和平均とは何か。その時の数式は次のようなものです。


m = { 2 * a * b } / { 1 / a + 1 / b }


そして説明の中に「調和平均は算術平均より小さいので」と書いてあるのでふつうの概念らしい。
ウィキペディアで調べたら、次のように定義されていました。


h = n / { 1 / x_1 + 1 / x_2 + ⋯ + 1 / x_n }


先ほどの、m = { 2 * a * b } / { 1 / a + 1 / b } は、n が 2 の場合を展開したものだったのですね。


調和平均は平均時速とかの公式らしく、行き時速 40 km、帰り時速 60 km で走ったら、平均時速は何キロかという問題に当てはめたら正しく 48 km と算出されました。


さて、同じ距離を今度は時速 50 km で走ったら、平均時速何キロになるか。

  ( # %~ +/ ) &. ( %"_ ) 40 50 60
48.6486

時速 48 km と 50 km の平均でも同じになります。

  ( # %~ +/ ) &. ( %"_ ) 48 48 50
48.6486

APL/J言語の式の説明ですが、%"_ で、数字それぞれを逆数にします。その結果を# %~ +/  で、算術平均を出して、再度逆数を取ります。f &. g が引数に g を作用させて、それから f を作用させて、その結果に g の逆関数を作用させるという意味なのでこういう結果になります。これはAPL/J言語のオンラインマニュアルのフレーズ集にありました。