余弦定理の証明

余弦定理とは、三角形ABCで2辺の長さ b、c とその間の角Aがわかっているとき、残りの辺の長さ a が求められることを示すものです。


適当な図を描いて、AB上に点Dを取り、角CDBを直角とする。


CD  = b * sin A 
DB  = a * cos B = c - b * cos A


よって、三角形CDBに三平方の定理を用いて、展開し、sin^2 A + cos^2 A = 1 により、


a^2 = ( b * sin A )^2 + ( c - b * cos A )^2
= b^2 * sin^2 A + c^2 - 2 * b * c * cos A + b^2 * cos^2 A
= b^2 * ( sin^2 A + cos^2 A ) + c^2 -  2 * b * c * cos A
= b^2 + c^2 -  2 * b * c * cos A


a^2 =  b^2 + c^2 -  2 * b * c * cos A


これを余弦定理( law of cosines ) という。


参考: 正弦定理

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2 * R