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ド・モアブルの定理

数学

複素数で、ド・モアブルの定理というのがあります。


( cos  θ  + i sin  θ ) ^ n = cos n θ + i sin n  θ 


普通、上記のように書きますが、パソコン上では、見にくいので、とりあえず次のように書きましょう。


( cos  ( θ )  + i * sin  ( θ ) ) ^ n = cos ( n * θ ) + i * sin ( n  * θ )


さて、これを帰納法で証明せよ、とテキストに載っていたのでやってみます。帰納法ということは、n の場合に成立していれば n + 1 でも成立することを証明する。


( cos  ( θ )  + i * sin  ( θ ) ) を、左右両辺に掛けます。


( cos  ( θ )  + i * sin  ( θ ) ) ^ { n + 1 } = ( cos ( n * θ ) + i * sin ( n  * θ ) ) * ( cos  ( θ )  + i * sin  ( θ ) ) 


i * i = -1 ですので、


右辺 =>  cos ( n *  θ ) * cos (  θ ) - sin ( n *  θ ) * sin (  θ ) + i * sin ( n *  θ ) * cos (  θ ) + i * cos ( n *  θ ) * sin (  θ ) 
実数部分 =>  cos ( n *  θ ) * cos (  θ ) - sin ( n *  θ ) * sin (  θ ) 
虚数部分 => sin ( n *  θ ) * cos (  θ ) + cos ( n *  θ ) * sin (  θ ) 


三角関数の加法定理により、


実数部分 =>  cos ( n *  θ ) * cos (  θ ) - sin ( n *  θ ) * sin (  θ ) => cos ( { n + 1 } *  θ )
虚数部分 => sin ( n *  θ ) * cos (  θ ) + cos ( n *  θ ) * sin (  θ ) => sin  ( { n + 1 } *  θ )


よって、


( cos  ( θ )  + i * sin  ( θ ) ) ^ { n + 1 } = cos ( { n + 1 } *  θ ) + i * sin  ( { n + 1 } *  θ )


よって、


( cos  ( θ )  + i * sin  ( θ ) ) ^ n = cos ( n * θ ) + i * sin ( n  * θ )


が証明された。