テイラー係数(Taylor coefficient)

例によってJ言語のボキャブラリーからの翻訳です。

t:(ティーコロン、テイラー係数)はu t. yのように使うと、動詞uのy次のテイラー系近似(Taylor series approximation)を返します。副詞tのドメインデリバティブD.(ラージディードット)の左側ドメインと同じです。m t.の場合を参照下さい。
x u t.yは (x^y) とu t. yの積です。

   f=: 1 2 1&p.    NB.1+ 2x+x^2という動詞(左から右へ次数が上がる)
   g=: 1 3 3 1&p.    NB.1+3x+3x^2+x^3
   x=: 10%~i=: i.8   NB.x=0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
   ]c=: (f*g) t. i   NB.(1+2x+x^2)*(1+3x+3x^2+x^3)
1 5 10 10 5 1 0 0

   6j2 ":(c p. x),:(f*g) x   NB.c p.と(f*g)は同じ結果になる
  1.00  1.61  2.49  3.71  5.38  7.59 10.49 14.20
  1.00  1.61  2.49  3.71  5.38  7.59 10.49 14.20

   (c p. x)=(f*g) x   NB.確認
1 1 1 1 1 1 1 1
            
   ]d=: f@g t. i    NB.f g xに対応するテイラー数列
4 12 21 22 15 6 1 0

   (d p. x)=(f g x)   NB.確認
1 1 1 1 1 1 1 1

   sin=: 1&o.    NB.サイン
   cos=: 2&o.   NB.コサイン
   8j4":t=: (^ t. i),(sin t. i),:(cos t. i)
  1.0000  1.0000  0.5000  0.1667  0.0417  0.0083  0.0014  0.0002
  0.0000  1.0000  0.0000 _0.1667  0.0000  0.0083  0.0000 _0.0002
  1.0000  0.0000 _0.5000  0.0000  0.0417  0.0000 _0.0014  0.0000

   * t   NB.符号をチェック
1 1  1  1 1 1  1  1
0 1  0 _1 0 1  0 _1
1 0 _1  0 1 0 _1  0

   *1 t. i   NB.常に1
1 0 0 0 _2.71051e_20 0 0 0
   n=: 0 1&p.    NB.0+x
   d=: 1 _1 _1&p.   NB.1-x-x^2
   rf=: n%d    NB.x%(1-x-x^2)
   ]fibonacci=: rf t. i. 20   NB.rfのテイラー近似? <=違うと思う
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181

   2 +/\ fibonacci   NB.2個ずつ足し算<=この使い方知らなかった
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

   (% -. - *:) t. i.20   NB.(% -. - *:)x=> x%(-. - *:)x=>x%(1-x-x^2)=>n%d
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181

*1:sin*sin)+(cos*cos