確率分布 - niming538の日記

例5 <ポアソン分布>
ある通りで空のタクシーが通る回数を調べたら、平均すると
1時間に $\lambda$ 回であった。空のタクシーがいつ通るかはまったく
偶然であるが、微小時間に2台以上通ることはほとんどないと
する。このとき1時間に通る空のタクシーの台数を $X$ として、
確率 $P(X=k)$ を求めたい。
1時間を $n$ 等分して、微小時間に分ける。

   NB.空のタクシーが通った時刻
 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+----+
 |0|_|1|1|_|1|_|_|1|_|_|1|_|1|t(h)|
 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+----+
   NB.n等分

$n$ を大きくすれば各時間帯は2台以上通らない。すなわち
1台通るか通らないかどちらかである。 $\frac{1}{n}$ 時間に空のタクシー
が通る回数は平均 $\frac{\lambda}{n}$ 回であるから、この時間帯に空のタクシー
1台が通る確率は $\frac{\lambda}{n}$ と考えてよい。各時間帯で空のタクシー
が通るかどうかは無関係だから、独立に起こる。従って $X$ は
成功確率 $\frac{\lambda}{n}$ のベルヌーイ試行を $n$ 回くり返したときの成功回数と
同じであるから、二項分布 $B (n ,\,\, \frac{\lambda}{n} )$ に従う。よって確率は
$P(X=k)={}_n C_k (\frac{\lambda}{n})^k (1 - \frac{\lambda}{n})^{n-k}$
$=\frac{n(n-1)\cdots(n-k-1)}{k!} \times \frac{\lambda ^k}{n^k} \times ( 1 - \frac{\lambda}{n})^{n-k}$
$=\frac{\lambda ^k}{k!}\times\frac{n}{n}\times \frac{n-1}{n} \times \cdots \times \frac{n-k+1}{n}\times (1-\frac{\lambda}{n})^n \times (1-\frac{\lambda}{n})^{-k}$
$=\frac{\lambda ^k}{k!}\times 1 \times (1 - \frac{1}{n}) \times \cdots \times (1 - \frac{k-1}{n}) \times \{(1+\frac{- \lambda}{n})^{\frac{n}{- \lambda}} \}^{- \lambda } \times (1-\frac{\lambda}{n})^{-k}$