確率分布

<ポワソン分布2>
ここで
\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{-\lambda}{n})^{\frac{n}{-\lambda}} = \lim_{x \to {- 0}} (1 + x)^{\frac{1}{x}}= e (自然対数の底)
だから
\lim_{n \to \infty} P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!} \times 1 \times 1 \times \cdots  \times 1  \times e^{-\lambda} \times 1 = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}
が成り立つ。

一般に定数 \lambda \gt 0 に対して、
 P(X=k)=e^{-\lamda} \frac{\lambda^k}{k!}  (k=0,\,1,\,2,\,\cdots )
である確率分布をポアソン分布  P(\lambda)という。この平均と分散は、
 E[X]=\sum^\infty_{k=0} ke^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = \lambda,
 V(X)=\sum^\infty_{k=0} (k - \lambda)^2 e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = \lambda
である。
ポアソン分布は「まれに起こる現象」の確率を表す。