「加法定理の証明」で調べてたら、三角形の面積の和による証明を何人かの方が書かれていておもしろかったのでなぞってみます。
三角形ABCを描きます。角A, B, Cのそれぞれの対辺をa, b, cとします。AからBCに垂線を引いて交点をHとします。∠BAHと∠CAHをそれぞれα, βとします。
△ABCの面積は(1/2 )*b*c*sin ( α + β ) になります。なぜならたとえばbを底辺とすると、c * sin ( ∠A ) が高さなので、三角形の面積 = 底辺 x 高さ ÷ 2 で求めます。
さて、△BAHに注目し、直角をはさむ2辺の長さを α と β で表すと c * sin α とb * cos β なので面積は、( 1/2 ) * c * sin α * b * cos β , 同様に△CAHの面積は、( 1/2 ) * b * sin β * c * cos α 。
ここで、
△ABCの面積 = △BAHの面積 + △CAHの面積
なので、
{ △ABCの面積 } = { △BAHの面積 } + { △CAHの面積 }
{ (1/2 )*b*c*sin ( α + β ) } = { ( 1/2 ) * c * sin α * b * cos β } + { ( 1/2 ) * b * sin β * c * cos α }
以下、変形して行きます。
(1/2 )*b*c*sin ( α + β ) } = ( 1/2 ) * c * sin α * b * cos β + ( 1/2 ) * b * sin β * c * cos α
b*c*sin ( α + β ) = c * sin α * b * cos β + b * sin β * c * cos α
b*c*sin ( α + β ) = c * sin α * b * cos β + b * sin β * c * cos α
b*c*sin ( α + β ) = b * c * sin α * cos β + b * c * sin β * cos α
sin ( α + β ) = sin α * cos β + cos α * sin β
以上で、加法定理のサインの場合の証明終わり。
コサインについては、
sin ( π/2 + θ ) = cos θ
cos ( π/2 + θ ) = - sin θ
とかの公式を使って変形する。
左辺で、α = π + α とすると、
sin ( π + α + β ) = cos ( α + β )
よって、
cos ( α + β ) = sin ( π + α ) * cos β + cos ( π + α ) * sin β
cos ( α + β ) = cos α * cos β - sin α * sin β
以上
