こういうのって循環論法かどうかというよりサギにあっているような気がするけど、なぜかな。
まとりあえず、なぞってみましょう。
e^{ i * x } = cos x + i * sin x
これがオイラーの公式です。
一方で、べき乗の性質によって、
e^{ i * ( a + b ) } = e^{ i * a } * e^{ i * b }
まず左辺にオイラーの公式を当てはめる。
e^{ i * ( a + b ) } = cos ( a + b ) + i * sin ( a + b )
次に右辺にオイラーの公式を当てはめます。
e^{ i * a } * e^{ i * b } = ( cos a + i * sin a ) * ( cos b + i * sin b )
= ( cos a * cos b - sin a * sin b ) + i * ( sin a * cos b + cos a * sin b )
それぞれの式の実数部分と虚数部分を対応させます。
cos ( a + b ) = cos a * cos b - sin a * sin b
sin ( a + b ) = sin a * cos b + cos a * sin b
ふむ。一応証明になっていると思います。ただ納得が行かないのは、オイラーに限らず加法定理という三角関数の定理を三角関数以外の概念で証明していることで、同じようなことをベクトルを使った証明にも感じました。時代的にあとで証明された定理で過去の問題を証明するのが、何かじゃんけんの後出しみたいだなぁ。とかなんとか。まいいです。
