複素数で、ド・モアブルの定理というのがあります。
( cos θ + i sin θ ) ^ n = cos n θ + i sin n θ
普通、上記のように書きますが、パソコン上では、見にくいので、とりあえず次のように書きましょう。
( cos ( θ ) + i * sin ( θ ) ) ^ n = cos ( n * θ ) + i * sin ( n * θ )
さて、これを帰納法で証明せよ、とテキストに載っていたのでやってみます。帰納法ということは、n の場合に成立していれば n + 1 でも成立することを証明する。
( cos ( θ ) + i * sin ( θ ) ) を、左右両辺に掛けます。
( cos ( θ ) + i * sin ( θ ) ) ^ { n + 1 } = ( cos ( n * θ ) + i * sin ( n * θ ) ) * ( cos ( θ ) + i * sin ( θ ) )
i * i = -1 ですので、
右辺 => cos ( n * θ ) * cos ( θ ) - sin ( n * θ ) * sin ( θ ) + i * sin ( n * θ ) * cos ( θ ) + i * cos ( n * θ ) * sin ( θ )
実数部分 => cos ( n * θ ) * cos ( θ ) - sin ( n * θ ) * sin ( θ )
虚数部分 => sin ( n * θ ) * cos ( θ ) + cos ( n * θ ) * sin ( θ )
三角関数の加法定理により、
実数部分 => cos ( n * θ ) * cos ( θ ) - sin ( n * θ ) * sin ( θ ) => cos ( { n + 1 } * θ )
虚数部分 => sin ( n * θ ) * cos ( θ ) + cos ( n * θ ) * sin ( θ ) => sin ( { n + 1 } * θ )
よって、
( cos ( θ ) + i * sin ( θ ) ) ^ { n + 1 } = cos ( { n + 1 } * θ ) + i * sin ( { n + 1 } * θ )
よって、
( cos ( θ ) + i * sin ( θ ) ) ^ n = cos ( n * θ ) + i * sin ( n * θ )
が証明された。
