APL/J言語：多項式(カーナー法による係数のルート)
カーナー法(Kerner's Method)という名前ではウィキペディアにはありませんが、「求根アルゴリズム」というページに若干の記述がありました。
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ニュートン法は一度に一つのルートを対象とし、最初の近似が近いところにある必要があります。カーナー法では、すべてのルートを求める一般的な方法であり、リストから始め、残るf aの要素を対応するルートについての微分係数で割っていきます。この方法は最高次の多項式係数が1のものにしか対応しないので、まず最初に多項式を最後のもので割って正規化し、多項式が同じルートを持つようにします。この方式は当初の近似の最低限一つが複素数のとき、複素数に収束します。われわれは指数関数についてテイラー級数近似を用います。なぜなら対応する多項式は複素数のルートを持つからです。
]d=: ^ t. i.6
1 1 0.5 0.166667 0.0416667 0.00833333
]c=: (norm=: % {:) d
120 120 60 20 5 1
+. a=: (init=: r.@}.@i.@#) c |a
0.540302 0.841471 1 1 1 1 1
_0.416147 0.909297
_0.989992 0.14112
_0.653644 _0.756802
0.283662 _0.958924
deriv=: [: */ 0&=@{.}@(-/~ ,: 1:)
kerner=: 1 : '] - x&p. % deriv@]'
r=: c kerner ^:_ a
+.(/:|) r NB.大きさによってソートされたルートの実数部分と虚数部分
_2.18061 4.57601e_31
_1.6495 1.69393
_1.6495 _1.69393
0.239806 3.12834
0.239806 _3.12834
>./|c p. r
1.04488e_13
以上の結果は正規化しない場合の多項式係数dについての原始動詞p.(ピードット)の結果と比較できます。
p. 2 4 2
+-+-----+
|2|_1 _1|
+-+-----+
,.;}.p. d
0.2398064j3.12834
0.2398064j_3.12834
_1.6495j1.69393
_1.6495j_1.69393
_2.18061
+. d NEWTON ^:0 1 2 3 _ a=: 1j1
1 1
0.0166065 0.99639
_0.990523 0.992532
_1.95338 1.10685
_1.6495 1.6939
