パスカルの三角形

APL/J言語

ウィキペディアでパスカルの三角形を引くと、次のように説明されています。

二項展開における係数を三角形状に並べた物である。
この三角形の作り方は単純なルールに基づいている。
まず最上段に1を配置する。
それより下の行はその位置の右上の数と左上の数の和を配置する。
例えば、5段目の左から2番目には、左上の1と右上の3の合計である4が入る。
 このようにして数を並べると、上から n 段目、左から k 番目の数は、
二項係数
 \(\array{\\n - 1\\k - 1}\)
に等しい。

と書いてあります。
わかりません。
というわけで少し遊びます。

5 9$_ _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _ 1 _ 1 _ _ _ _ _ 1 _ 2 _ 1 _ _ _ 1 _ 3 _ 3 _ 1 _ 1 _ 4 _ 6 _ 4 _ 1
 _ _ _ _ 1 _ _ _ _
 _ _ _ 1 _ 1 _ _ _
 _ _ 1 _ 2 _ 1 _ _
 _ 1 _ 3 _ 3 _ 1 _
 1 _ 4 _ 6 _ 4 _ 1

これで感じはつかめるかな？

   !/~ i.5
1 1 1 1 1
0 1 2 3 4
0 0 1 3 6
0 0 0 1 4
0 0 0 0 1
   |: !/~ i.5
1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
1 2 1 0 0
1 3 3 1 0
1 4 6 4 1

ここで5行目の左から2番目の4を算出するのに、n=5、k=2とするとn-1=4、k-1=1だから

   1 ! 4
4
   NB.左から３番目の6は
   2 ! 4
6

ということのようです。


追記：
上で使った!(エクスクラメーションマーク、びっくりマーク)はJ言語で二項係数(binomial coefficient)と呼ばれる関数(動詞)ですが、同時にm!nはn個の中からm個を選ぶ組合せの数を算出します。この辺がよくわからないというか納得がいきません。二項係数と順列組合せとがなぜ同じなのだろうか。
不思議。