確率分布 - niming538の日記

p.4 例4<超幾何分布>
壷の中に $N$ 個の玉が入っていて、そのうち $M$ 個が赤玉、
$N-M$ 個が白玉である。この壷から $1$ 度に $n$ 個の玉を取り出す。
このとき、取り出した玉は壷に戻さない(非復元抽出)。
この取り出した $n$ 個のうち赤玉の数を $X$ とする。このとき $X$ の確率は
$P(X=k)=\frac{{}_M C_k \times {}_{N-M} C_{n-k}}{{}_N C_n} \,\,\,(k=0,\,1,\,2,\,\cdots,\,n)$
となる。
この分布を超幾何分布 $H(N,\,n,\,p)$ 　(ただし $p=\frac{M}{N}$ )
という。平均と分散は、
$E[ X ] =np,\,\,\,\,V(X)=E[(X - np)^2]=n(\frac{N-n}{N-1})p(1 - p)= \nu$
である。
$N=300,\,\,\,n=30,\,\,\,p=0.4$
の場合の超幾何分布の棒グラフを示す。

   N=:300
   n=:30
   p=:0.4
   M=:p*N
   f=: monad : '( (y ! M) * ((n - y) ! (N - M))) % (n ! N)'
   f 12
0.155332
   f 10 11 12 13 14 15
0.117374 0.145807 0.155332 0.142504 0.112898 0.0773638
   load 'plot'
   'stick' plot f i.31

$N$ が十分大きいとき超幾何分布は二項分布で近似できる。
定理1
$\lim_{N\to\infty}\frac{{}_{pN}C_k \times {}_{(1-p)N} C_{n-k}}{{}_N C_n}={}_n C_k p^k (1 - p)^{n-k}$
図は正規分布曲線
$y=\frac{1}{\sqrt{2\pi \nu}} e^{-\frac{(x - np)^2}{2 \nu}}$
である。

   1x1
2.71828
   p=:0.4
   N=:300
   n=:30
   v=:n*( (N-n)%(N-1))*p*(1-p)
   v
6.50167
   1p1
3.14159
   f=: monad : '(1 % (%:1p1*v*2))*(1x1)^(-( (y - n*p)^2)%2*v)'
   f 12
0.156458
   load 'plot'
   plot f i.31

定理2
$\frac{M}{N}=p$ 、 $\frac{n}{N}=1$ が一定という条件で、
$N\to \infty$ とするとき、
$\lim_{N\to\infty}\{P(a \lt X \lt b) - \int_a^b \frac{1}{\sqrt{2\pi \nu}} e^{-\frac{(x - np)^2}{2 \nu}} dx \}=0$