確率分布 - niming538の日記

確率変数 $X$ のとる値が、 $x_1,\,x_2,\,\cdots , \,x_n,\, \cdots$ のように定まっていて、各値をとる確率が、 $P(X=x_n )=p_k\,\, (k=1, 2, \cdots)$ で与えられているとき、 $X$ を離散型確率変数と言い、その分布 $P(X=x_n)=p_k\,\, (k=1, 2, \cdots )$ を離散型確率分布という。ここで $p_k \geq 0, \sum_{k=1}^\infty p_k=1$ である。

同じく高知工科大学の基礎数学ワークブックの「確率分布」ので出しをmimeTeXを織り交ぜて書いてみました。確率がAPL/J言語向きかどうかはわかりませんが、離散数学に向いていることはたしかなようなので、すこしかじってみます。上記の文章はよくわかりませんが、つまり、サイコロだったらサイコロのいろんな数が出る確率を1/10とか1/3とかだとするとその合計が1となるような感じですよね。1/10とかの確率を確率変数と呼んだり、確率は必ず大なりイコールゼロだとかが書いてあったりします。

このとき任意の関数f(x)に対し、 $E[f(X) ]=\sum_{k=1}^\infty f(x_k) P (X = x_k) = \sum_{k=1}^\infty f(x_k) p_k$ と定める。Xの平均と分散は
$E[X ]=\sum_{k=1}^\infty x_k p_k = m$
$V[X ]=E[ (X - m)^2 ] = \sum_{k=1}^\infty (x_k - m)^2 p_k$
である。

p.2 例1 サイコロ投げやコイン投げをくり返し行うように、同じ試行をくり返して行うことを、「ベルヌーイ試行と言う。成功確率pの試行をn回行う。これを成功確率pのベルヌーイ試行という。成功した回数を $X$ とすると、
$P ( X = k ) = \,_n C_k \, p^k (1 - p)^{n-k} \,\,\, (k = 0,\,1,\,\cdots,\,n)$
となる。この分布を二項分布 $B(n,\,p)$ という。
平均と分散は、
$E[ X ] = np, \,\, V(X)=np(1 - p)$
である。

p.3 $p = \frac{1}{6}$ の場合二項分布
$P ( X = k ) = \,_n C_k \, (\frac{1}{6})^k\,(\frac{5}{6})^{n-k}$
の値を棒グラフにしたものが、図1( $n=10$ )と図2( $n=45$ )である。nが大きくなると平均 $np$ 、分散 $np(1 - p)$ の正規分布に近づく。

これをAPL/J言語でやってみようと思います。