複素共役

以下はWikipediaからの引用です。

=== 複素共役(共役複素数) ===
z\,が実数 ⇔ \overline{z}=z
z\,が純虚数 ⇔ \overline{z}=-z
\overline{\overline{z}}=z. （対合）
|z|=|\overline{z}|.
z + \overline{z} = 2 \,\Re z.
z - \overline{z} = 2 i \,\Im z.
z\overline{z} = |z|^2.
特に　z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^{2}},\,(z \ne 0).
\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}.
\overline{zw} = \overline{z}\overline{w}.
\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}},\,(w \ne 0)。
特に、複素数 zが実数係数の多項式f(x) の根となるならば zの共役複素数 \overline{z}も f(x) の根となることがわかる（1746年:ジャン・ル・ロン・ダランベール|ダランベール）。すなわち、f(x) が実数係数多項式ならば
f(z) = 0⇔ (\bar z) = 0
が成り立つ。