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確率分布

例5 <ポアソン分布>
ある通りで空のタクシーが通る回数を調べたら、平均すると
1時間に \lambda 回であった。空のタクシーがいつ通るかはまったく
偶然であるが、微小時間に2台以上通ることはほとんどないと
する。このとき1時間に通る空のタクシーの台数を X として、
確率 P(X=k) を求めたい。
1時間をn等分して、微小時間に分ける。

   NB.空のタクシーが通った時刻
 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+----+
 |0|_|1|1|_|1|_|_|1|_|_|1|_|1|t(h)|
 +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+----+
   NB.n等分

n を大きくすれば各時間帯は2台以上通らない。すなわち
1台通るか通らないかどちらかである。 \frac{1}{n} 時間に空のタクシー
が通る回数は平均 \frac{\lambda}{n} 回であるから、この時間帯に空のタクシー
1台が通る確率は \frac{\lambda}{n} と考えてよい。各時間帯で空のタクシー
が通るかどうかは無関係だから、独立に起こる。従って X
成功確率 \frac{\lambda}{n} のベルヌーイ試行を n 回くり返したときの成功回数と
同じであるから、二項分布 B (n ,\,\, \frac{\lambda}{n} ) に従う。よって確率は
P(X=k)={}_n C_k (\frac{\lambda}{n})^k (1 - \frac{\lambda}{n})^{n-k}
=\frac{n(n-1)\cdots(n-k-1)}{k!} \times \frac{\lambda ^k}{n^k} \times ( 1 - \frac{\lambda}{n})^{n-k}
=\frac{\lambda ^k}{k!}\times\frac{n}{n}\times \frac{n-1}{n} \times \cdots \times \frac{n-k+1}{n}\times (1-\frac{\lambda}{n})^n \times (1-\frac{\lambda}{n})^{-k}
=\frac{\lambda ^k}{k!}\times 1 \times (1 - \frac{1}{n}) \times \cdots \times (1 - \frac{k-1}{n}) \times \{(1+\frac{- \lambda}{n})^{\frac{n}{- \lambda}} \}^{- \lambda } \times (1-\frac{\lambda}{n})^{-k}