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全体否定と部分否定

数学

全体否定は、

∀x¬P(x)


これに対して、部分否定は二つ書き方があって、


∃x¬P(x)
¬∀xP(x)


とのこと。


日本語ではなんと読むのだろう。


∀x¬P(x) は、すべての x について、P(x)ではない。これでは分かりにくいので、任意のどんな x についてもP(x)ではない。というだろうか。
∃x¬P(x)は、ある x があって、それはP(x)ではない。P(x)でない x がある。かな。
¬∀xP(x)は、すべての x がP(x)というわけではない。


¬∃xP(x)というのがないけれどだいじょうぶかな。P(x)となる x が存在する、の否定だから、すべての x がP(x)であるの否定で、全体否定のような気がする。ということは、全体否定も二つ書き方があって、


全体否定 => ∀x¬P(x) = ¬∃xP(x)
部分否定 => ∃x¬P(x) = ¬∀xP(x)


つまり、否定の場所を移動すると ∀x と ∃x が交代してトータルとして同値なのかもしれない。


どこかに書いてあるだろう。調べる。